Морозов родился 24 апреля 1770 года. Его родители, крепостные крестьяне-старообрядцы, принадлежали сначала помещику Всеволжскому, а затем помещику Рюмину.
Детство Саввы ничем не отличалось от детства крепостных ребятишек: с юных лет он вместе с отцом пас скот, работал на земле, а позже, чтобы помочь семье, ушел в извоз, но все это не приносило дохода.
Отправной точкой удивительного пути к богатству стала работа ткачом на маленькой, в пятнадцать человек штата, шелкоткацкой фабрике Ф.
Кононова. Жалованье ему положили пять рублей в год да еще питание за счет фабрики. Но Савва был рад, именно там он обучился азам производства, на фабрике обдумывал, как улучшить процесс, чтобы получать большую прибыль.